Справочник по высшей математике.   Выгодский М.Я.

СОДЕРЖАНИЕ

Аналитическая геометрия на плоскости

§   1. Понятие о предмете аналитической геометрии............................................... 19

§   2. Координаты................................................................................................................... 20

§   3. Прямоугольная система координат...................................................................... 20

§   4. Прямоугольные координаты.................................................................................. 21

§   5. Координатные углы................................................................................................... 22

§   6. Косоугольная система координат......................................................................... 23

§   7. Уравнение линии......................................................................................................... 24

§   8. Взаимное расположение линии и точки............................................................. 25

§   9. Взаимное расположение двух линий................................................................... 26

§ 10. Расстояние между двумя точками........................................................................ 27

§11. Деление отрезка в данном отношении................................................................. 27

§ 11а. Деление отрезка пополам...................................................................................... 28

§ 12. Определитель второго порядка............................................................................. 29

§ 13. Площадь треугольника............................................................................................. 29

§ 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно

ординаты (с угловым коэффициентом)............................................................. 30

§ 15. Прямая, параллельная оси........................................................................................ 32

§ 16. Общее уравнение прямой......................................................................................... 33

§ 17. Построение прямой по ее уравнению.................................................................. 34

§18. Условие параллельности прямых........................................................................... 35

§ 19. Пересечение прямых.................................................................................................. 37

§ 20. Условие перпендикулярности двух прямых...................................................... 38

§21. Угол между двумя прямыми.................................................................................... 39

§ 22. Условие, при котором три точки лежат на одной

прямой........................................................................................................................... 42

§ 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки............................................ 43

§ 24. Пучок прямых............................................................................................................... 44

§25. Уравнение прямой, проходящей через данную

точку параллельно данной прямой.................................................................... 46

§ 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку

перпендикулярно данной прямой....................................................................... 47

§27. Взаимное расположение прямой и пары точек................................................ 48

§ 28. Расстояние от точки до прямой............................................................................. 49

§ 29. Полярные параметры прямой................................................................................. 50

§ 30. Нормальное уравнение прямой.........................................................................     52

§31. Приведение уравнения прямой к нормальному виду.................................    53

§ 32. Отрезки на осях........................................................................................................     54

§ 33. Уравнение прямой в отрезках.............................................................................     55

§ 34. Преобразование координат (постановка вопроса).....................................    56

§ 35. Перенос начала координат..................................................................................     57

§ 36. Поворот осей............................................................................................................    58

§37. Алгебраические линии и их порядок................................................................    60

§ 38. Окружность...............................................................................................................    61

§ 39. Нахождение центра и радиуса окружности..................................................    63

§ 40. Эллипс как сжатая окружность..........................................................................     64

§ 41. Другое определение эллипса..............................................................................    66

§ 42. Построение эллипса по его осям.......................................................................    69

§ 43. Гипербола..................................................................................................................     70

§ 44. Форма гиперболы; вершины и оси...................................................................     72

§ 45. Построение гиперболы по ее осям...................................................................     74

§ 46. Асимптоты гиперболы..........................................................................................     74

§ 47. Сопряженные гиперболы.....................................................................................     76

§ 48. Парабола....................................................................................................................     76

§ 49. Построение параболы по данному параметру р.........................................    78

§ 50. Парабола как график уравнения у = ах² + Ъх + с..........................................     78

§ 51. Директрисы эллипса и гиперболы....................................................................    82

§ 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы..............................    83

§ 53. Конические сечения...............................................................................................    86

§ 54. Диаметры конического сечения.........................................................................    87

§ 55. Диаметры эллипса..................................................................................................    88

§ 56. Диаметры гиперболы............................................................................................    89

§ 57. Диаметры параболы...............................................................................................    92

§ 58. Линии второго порядка........................................................................................    93

§ 59. Запись общего уравнения второй степени.....................................................    95

§ 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания. . . 95

§61. Предварительное преобразование уравнения второй степени . . 96

§ 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени. . . 99

§ 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения

второй степени........................................................................................................ 105

§ 64. Признак распадения линий второго порядка............................................... 106

§ 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся

линию второго порядка....................................................................................... 108

§ 66. Инварианты уравнения второй степени.......................................................... 111

§ 67. Три типа линий второго порядка....................................................................... 114

§ 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка .... 117

§ 69. Нахождение центра центральной линии второго порядка. . . 118

§ 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка. . . 120

§71. Равносторонняя гипербола как график уравнения у = -  ... 122

§   72. Равносторонняя гипербола как график уравнения

₌ тх + п................................................................................................................ ₁₂₃

px + q

§   73. Полярные координаты......................................................................................... 126

§   74. Связь между полярными и прямоугольными координатами. . 128

§   75. Архимедова спираль............................................................................................. 131

§   76. Полярное уравнение прямой............................................................................. 133

§   77. Полярное уравнение конического сечения.................................................. 134

Аналитическая геометрия в пространстве

§   78. Понятие о векторах и скалярах.......................................................................... 135

§   79. Вектор в геометрии................................................................................................ 135

§   80. Векторная алгебра.................................................................................................. 136

§   81. Коллинеарные векторы........................................................................................ 136

§   82. Нуль-вектор.............................................................................................................. 137

§   83. Равенство векторов................................................................................................ 137

§   84. Приведение векторов к общему началу......................................................... 138

§   85. Противоположные векторы............................................................................... 138

§   86. Сложение векторов................................................................................................ 139

§   87. Сумма нескольких векторов................................................................................ 141

§   88. Вычитание векторов.............................................................................................. 142

§   89. Умножение и деление вектора на число........................................................ 144

§   90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора

на вектор)................................................................................................................ 145

§   91. Проекция точки на ось.......................................................................................... 146

§   92. Проекция вектора на ось...................................................................................... 146

§   93. Основные теоремы о проекциях вектора........................................................ 149

§   94. Прямоугольная система координат в пространстве.................................. 151

§   95. Координаты точки................................................................................................. 152

§   96. Координаты вектора.............................................................................................. 153

§   97. Выражения вектора через компоненты и через

координаты............................................................................................................ 155

§   98. Действия над векторами, заданными своими

координатами........................................................................................................ 155

§   99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала

и конца..................................................................................................................... 156

§ 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками.................................... 157

§ 101. Угол между осью координат и вектором..................................................... 157

§ 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов............................. 158

§103. Деление отрезка в данном отношении............................................................ 159

§ 104. Скалярное произведение двух векторов........................................................ 160

§ 104а. Физический смысл скалярного произведения.......................................... 161

§ 105. Свойства скалярного произведения................................................................ 162

§ 106. Скалярные произведения основных векторов............................................. 164

§ 107. Выражение скалярного произведения через координаты

сомножителей...................................................................................................... 164

§ 108. Условие перпендикулярности векторов........................................................ 165

§ 109. Угол между векторами....................................................................................... 166

§ 110. Правая и левая системы трех векторов.......................................................... 166

§111. Векторное произведение двух векторов........................................................ 168

§ 112. Свойства векторного произведения............................................................... 170

§ 113. Векторные произведения основных векторов............................................ 172

§ 114. Выражение векторного произведения через координаты

сомножителей...................................................................................................... 173

§115. Компланарные векторы....................................................................................... 175

§ 116. Смешанное произведение.................................................................................. 175

§117. Свойства смешанного произведения.............................................................. 177

§ 118. Определитель третьего порядка...................................................................... 178

§ 119. Выражение смешанного произведения через координаты

сомножителей...................................................................................................... 180

§ 120. Признак компланарности в координатной форме................................... 181

§ 121. Объем параллелепипеда.................................................................................... 181

§ 122. Двойное векторное произведение.................................................................. 182

§ 123. Уравнение плоскости.......................................................................................... 183

§124. Особые случаи положения плоскости относительно

системы координат............................................................................................. 184

§ 125. Условие параллельности плоскостей............................................................ 185

§126. Условие перпендикулярности плоскостей................................................... 186

§ 127. Угол между двумя плоскостями..................................................................... 187

§ 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно

данной плоскости............................................................................................... 187

§ 129. Плоскость, проходящая через три точки..................................................... 188

§ 130. Отрезки на осях...................................................................................................... 188

§131. Уравнение плоскости в отрезках...................................................................... 189

§ 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно

данной плоскости............................................................................................... 190

§ 133. Плоскость, проходящая через данную точку

перпендикулярно двум плоскостям............................................................. 190

§ 134. Точка пересечения трех плоскостей............................................................... 191

§135. Взаимное расположение плоскости и пары точек..................................... 193

§ 136. Расстояние от точки до плоскости................................................................. 193

§ 137. Полярные параметры плоскости..................................................................... 194

§ 138. Нормальное уравнение плоскости................................................................. 196

§ 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду . . . 197

§ 140. Уравнения прямой в пространстве.................................................................. 199

§141. Условие, при котором два уравнения первой степени

представляют прямую....................................................................................... 201

§ 142. Пересечение прямой с плоскостью................................................................ 202

§ 143. Направляющий вектор........................................................................................ 204

§ 144. Углы между прямой и осями координат...................................................... 205

§ 145. Угол между двумя прямыми............................................................................ 206

§ 146. Угол между прямой и плоскостью................................................................ 207

§ 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой

и плоскости........................................................................................................... 207

§ 148. Пучок плоскостей................................................................................................. 208

§ 149. Проекции прямой на координатные плоскости......................................... 210

§ 150. Симметричные уравнения прямой.................................................................. 212

§ 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду. . . . 214

§ 152. Параметрические уравнения прямой............................................................. 215

§153. Пересечение плоскости с прямой, заданной

параметрически.................................................................................................... 216

§154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки . . 217

§ 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

перпендикулярно данной прямой................................................................. 217

§ 156. Уравнение прямой, проходящей через данную точку

перпендикулярно данной плоскости........................................................... 218

§157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

и данную прямую................................................................................................ 218

§ 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

и параллельной двум данным прямым........................................................ 219

§ 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую

и параллельной другой данной прямой..................................................... 220

§ 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую

и перпендикулярной данной плоскости..................................................... 220

§161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки

на данную прямую.............................................................................................. 221

§ 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки

на данную прямую.............................................................................................. 223

§163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат

в одной плоскости............................................................................................... 224

§164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным

прямым.................................................................................................................... 226

§ 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми........................................ 228

§ 165а. Правые и левые пары прямых.......................................................................... 230

§ 166. Преобразование координат............................................................................... 232

§ 167. Уравнение поверхности....................................................................................... 233

§ 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие

параллельны одной из осей координат....................................................... 234

§ 169. Уравнения линии.................................................................................................... 236

§ 170. Проекция линии на координатную плоскость............................................ 237

§171. Алгебраические поверхности и их порядок.................................................. 239

§ 172. Сфера.......................................................................................................................... 240

§ 173. Эллипсоид................................................................................................................ 241

§ 174. Однополостный гиперболоид.......................................................................... 244

§ 175. Двуполостный гиперболоид............................................................................. 246

§ 176. Конус второго порядка........................................................................................ 248

§ 177. Эллиптический параболоид.............................................................................. 250

§ 178. Гиперболический параболоид.......................................................................... 252

§179. Перечень поверхностей второго порядка...................................................... 254

§ 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго

порядка.................................................................................................................... 257

§ 181. Поверхности вращения....................................................................................... 258

§ 182. Определители второго и третьего порядков.............................................. 259

§ 183. Определители высших порядков..................................................................... 263

§ 184. Свойства определителей.................................................................................... 265

§ 185. Практический прием вычисления определителей.................................... 269

§ 186. Применение определителей к исследованию и решению

системы уравнений............................................................................................. 271

§ 187. Два уравнения с двумя неизвестными............................................................ 272

§ 188. Два уравнения с тремя неизвестными............................................................ 274

§ 189. Однородная система двух уравнений с тремя

неизвестными....................................................................................................... 276

§ 190. Три уравнения с тремя неизвестными............................................................ 278

§ 190а. Система п уравнений с п неизвестными...................................................... 282

Основные понятия математического анализа

§ 191. Вводные замечания.............................................................................................. 285

§ 192. Рациональные числа............................................................................................ 286

§ 193. Действительные (вещественные) числа......................................................... 286

§ 194. Числовая ось........................................................................................................... 288

§ 195. Переменные и постоянные величины............................................................ 289

§ 196. Функция................................................................................................................... 289

§197. Способы задания функции................................................................................. 291

§ 198. Область определения функции....................................................................... 294

§ 199. Промежуток........................................................................................................... 296

§ 200. Классификация функций.................................................................................... 298

§ 201. Основные элементарные функции................................................................. 299

§ 202. Обозначение функции........................................................................................ 300

§ 203. Предел последовательности............................................................................ 301

§ 204. Предел функции.................................................................................................... 304

§ 205. Определение предела функции....................................................................... 306

§ 206. Предел постоянной величины......................................................................... 307

§ 207. Бесконечно малая величина.............................................................................. 307

§ 208. Бесконечно большая величина........................................................................ 308

§ 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми

величинами........................................................................................................... 309

§ 210. Ограниченные величины................................................................................... 309

§211. Расширение понятия предела........................................................................... 310

§ 212. Основные свойства бесконечно малых величин........................................ 311

§213. Основные теоремы о пределах......................................................................... 312

§214. Число е...................................................................................................................... 314

§ 215. Предел ^HLf при х - 0.......................................................................................... 316

§ 216. Эквивалентные бесконечно малые величины............................................. 317

§ 217. Сравнение бесконечно малых величин......................................................... 318

§ 217а. Приращение переменной величины............................................................ 320

§ 218. Непрерывность функции в точке..................................................................... 321

§ 219. Свойства функций, непрерывных в точке..................................................... 322

§ 219а. Односторонний предел; скачок функции................................................... 323

§ 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке............................... 324

§221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом

промежутке........................................................................................................... 325

Дифференциальное исчисление

§ 222. Вводные замечания............................................................................................... 327

§ 223. Скорость................................................................................................................... 328

§ 224. Определение производной функции.............................................................. 329

§ 225. Касательная.............................................................................................................. 331

§ 226. Производные некоторых простейших функций......................................... 332

§ 227. Свойства производной........................................................................................ 334

§ 228. Дифференциал........................................................................................................ 334

§ 229. Механический смысл дифференциала........................................................... 336

§ 230. Геометрический смысл дифференциала....................................................... 337

§231. Дифференцируемые функции............................................................................ 337

§232. Дифференциалы некоторых простейших функций.................................... 340

§ 233. Свойства дифференциала................................................................................... 341

§ 234. Инвариантность выражения f(x) dx................................................................. 341

§ 235. Выражение производной через дифференциалы...................................... 342

§ 236. Функция от функции (сложная функция)..................................................... 343

§ 237. Дифференциал сложной функции.................................................................. 343

§ 238. Производная сложной функции...................................................................... 344

§ 239. Дифференцирование произведения................................................................ 346

§ 240. Дифференцирование частного (дроби)......................................................... 347

§241. Обратная функция.................................................................................................. 348

§ 242. Натуральные логарифмы................................................................................... 350

§ 243. Дифференцирование логарифмической функции..................................... 352

§ 244. Логарифмическое дифференцирование........................................................ 353

§ 245. Дифференцирование показательной функции............................................ 355

§ 246. Дифференцирование тригонометрических функций................................ 356

§ 247. Дифференцирование обратных тригонометрических

функций .................................................................................................................  357

§ 247а. Некоторые поучительные примеры.............................................................. 358

§ 248. Дифференциал в приближенных вычислениях........................................... 361

§ 249. Применение дифференциала к оценке погрешности

формул  ..................................................................................................................  363

§ 250. Дифференцирование неявных функций......................................................... 365

§251. Параметрическое задание линии...................................................................... 368

§ 252. Параметрическое задание функции................................................................ 370

§ 253. Циклоида.................................................................................................................. 372

§ 254. Уравнение касательной к плоской линии...................................................... 373

§ 254а. Касательные к кривым второго порядка...................................................... 375

§ 255. Уравнение нормали............................................................................................... 375

§ 256. Производные высших порядков....................................................................... 376

§ 257. Механический смысл второй производной.................................................. 378

§ 258. Дифференциалы высших порядков.................................................................. 379

§ 259. Выражение высших производных через дифференциалы . . 382

§ 260. Высшие производные функций, заданных параметрически . . 383

§261. Высшие производные неявных функций........................................................ 384

§ 262. Правило Лейбница............................................................................................... 385

§ 263. Теорема Ролля....................................................................................................... 387

§ 264. Теорема Лагранжа о среднем значении........................................................ 388

§ 265. Формула конечных приращений..................................................................... 391

§ 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши)................................... 393

§ 267. Раскрытие неопределенности вида -   ........................................................... 395

§ 268. Раскрытие неопределенности вида —........................................................... 399

§ 269. Неопределенные выражения других видов................................................. 400

§ 270. Исторические сведения о формуле Тейлора............................................... 402

§ 271. Формула Тейлора................................................................................................. 407

§ 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений

функции .................................................................................................................  409

§ 273. Возрастание и убывание функции.................................................................. 418

§274. Признаки возрастания и убывания функции в точке................................. 419

§ 274а. Признаки возрастания и убывания функции

в промежутке........................................................................................................ 421

§ 275. Максимум и минимум......................................................................................... 421

§ 276. Необходимое условие максимума и минимума........................................ 423

§ 277. Первое достаточное условие максимума и минимума........................... 424

§ 278. Правило нахождения максимумов и минимумов..................................... 425

§ 279. Второе достаточное условие максимума и минимума........................... 429

§ 280. Нахсждение наибольшего и наименьшего значений

функции.................................................................................................................. 431

§281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба.............................................. 439

§ 282. Сторона вогнутости............................................................................................. 440

§ 283. Правило для нахождения точек перегиба.................................................... 442

§ 284. Асимптоты.............................................................................................................. 443

§285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям . . 444

§ 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат............................ 446

§ 287. Приемы построения графиков.......................................................................... 450

§ 288. Решение уравнений. Общие замечания........................................................ 454

§ 289. Решение уравнений. Способ хорд.................................................................. 456

§ 290. Решение уравнений. Способ касательных................................................... 458

§291. Комбинированный метод хорд и касательных............................................ 461

Интегральное исчисление

§ 292. Вводные замечания.............................................................................................. 464

§ 293. Первообразная функция..................................................................................... 466

§ 294. Неопределенный интеграл................................................................................ 467

§ 295. Геометрический смысл интегрирования...................................................... 470

§ 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным

данным.................................................................................................................... 472

§297. Свойства неопределенного интеграла............................................................ 474

§ 298. Таблица интегралов.............................................................................................. 475

§ 299. Непосредственное интегрирование................................................................ 477

§ 300. Способ подстановки (интегрирование через

вспомогательную переменную)..................................................................... 478

§ 301. Интегрирование по частям................................................................................ 483

§ 302. Интегрирование некоторых тригонометрических

выражений............................................................................................................. 486

§ 303. Тригонометрические подстановки.................................................................. 490

§ 304. Рациональные функции....................................................................................... 491

§ 304а. Исключение целой части.................................................................................. 492

§ 305. О приемах интегрирования рациональных дробей................................... 493

§ 306. Интегрирование простейших рациональных дробей............................... 494

§ 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) . . 498

§ 308. О разложении многочлена на множители................................................... 506

§ 309. Об интегрируемости в элементарных функциях........................................ 507

§ 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов......................................... 508

§311. Интеграл от биномиального дифференциала.............................................. 510

§ 312. Интегралы вида |  R(x, Jax² + bx + c )dx.......................................................... 512

§ 313. Интегралы вида f /?(sin jc, cos x) dx................................................................ 515

§ 314. Определенный интеграл..................................................................................... 515

§315. Свойства определенного интеграла................................................................. 520

§316. Геометрический смысл определенного интеграла..................................... 522

§ 317. Механический смысл определенного интеграла........................................ 523

§ 318. Оценка определенного интеграла................................................................... 525

§ 318а. Неравенство Буняковского............................................................................... 526

§ 319. Теорема о среднем интегрального исчисления.......................................... 527

§ 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела. . . 528

§ 321. Дифференциал интеграла................................................................................... 531

§ 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона—Лейбница . 532

§ 323. Вычисление определенного интеграла с помощью

неопределенного................................................................................................. 535

§ 324. Определенное интегрирование по частям.................................................... 536

§ 325. Способ подстановки в определенном интеграле....................................... 537

§ 326. О несобственных интегралах............................................................................. 542

§ 327. Интегралы с бесконечными пределами......................................................... 543

§ 328. Интеграл функции, имеющей разрыв............................................................. 548

§ 329. О приближенном вычислении интеграла..................................................... 552

§ 330. Формулы прямоугольников.............................................................................. 555

§331. Формула трапеций................................................................................................. 557

§ 332. Формула Симпсона (параболических трапеций)....................................... 558

§ 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным

координатам.......................................................................................................... 560

§ 334. Схема применения определенного интеграла............................................. 563

§ 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам . . . 565

§ 336. Объем тела по поперечным сечениям........................................................... 567

§ 337. Объем тела вращения.......................................................................................... 569

§ 338. Длина дуги плоской линии............................................................................... 570

§ 339. Дифференциал дуги............................................................................................. 572

§ 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах . . 573
§341. Площадь поверхности вращения...................................................................... 575

Основные сведения о плоских и пространственных линиях

§ 342. Кривизна.................................................................................................................. 577

§ 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии........................................ 578

§ 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны

плоской линии..................................................................................................... 580

§ 345. Эволюта плоской линии..................................................................................... 583

§ 346. Свойства эволюты плоской линии.................................................................. 585

§ 347. Развертка (эвольвента) плоской линии......................................................... 586

§ 348. Параметрическое задание пространственной линии............................... 587

§ 349. Винтовая линия...................................................................................................... 589

§ 350. Длина дуги пространственной линии........................................................... 591

§ 351. Касательная к пространственной линии....................................................... 592

§ 352. Нормальная плоскость........................................................................................ 594

§ 353. Вектор-функция скалярного аргумента........................................................ 595

§ 354. Предел вектор-функции..................................................................................... 596

§ 355. Производная вектор-функции......................................................................... 597

§356. Дифференциал вектор-функции....................................................................... 599

§ 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции . 600

§ 358. Соприкасающаяся плоскость............................................................................ 602

§ 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник....................................... 604

§ 360. Взаимное расположение линии и плоскости............................................. 606

§361. Основные векторы сопутствующего трехгранника................................... 606

§ 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии. . . 608

§ 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны

пространственной линии................................................................................. 609

§ 364. О знаке кривизны.................................................................................................. 612

§ 365. Кручение................................................................................................................. 613

Ряды

§ 366. Вводные замечания.............................................................................................. 616

§ 367. Определение ряда................................................................................................ 616

§ 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды.................................................................. 618

§ 369. Необходимое условие сходимости ряда...................................................... 619

§ 370. Остаток ряда........................................................................................................... 622

§ 371. Простейшие действия над рядами.................................................................. 623

§ 372. Положительные ряды......................................................................................... 625

§ 373. Сравнение положительных рядов................................................................... 625

§374. Признак Даламбера для положительного ряда.......................................... 628

§ 375. Интегральный признак сходимости............................................................... 630

§ 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница.................................................. 632

§ 377. Абсолютная и условная сходимость.............................................................. 633

§ 378. Признак Даламбера для произвольного ряда............................................. 635

§ 379. Перестановка членов ряда.................................................................................. 636

§ 380. Группировка членов ряда................................................................................... 637

§ 381. Умножение рядов.................................................................................................. 639

§ 382. Деление рядов......................................................................................................... 642

§ 383. Функциональный ряд........................................................................................... 644

§ 384. Область сходимости функционального ряда.............................................. 645

§ 385. О равномерной и неравномерной сходимости........................................... 647

§ 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости . . 650

§ 387. Геометрический смысл равномерной

и неравномерной сходимости......................................................................... 651

§ 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды  .... 652

§ 389. Непрерывность суммы ряда.............................................................................. 653

§ 390. Интегрирование рядов........................................................................................ 655

§ 391. Дифференцирование рядов................................................................................ 659

§ 392. Степенной ряд........................................................................................................ 660

§ 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда............................... 661

§ 394. Нахождение радиуса сходимости................................................................... 662

§395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням

х - х₀........................................................................................................................... 664

§ 396. Теорема Абеля........................................................................................................ 665

§ 397. Действия со степенными рядами...................................................................... 666

§ 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. . . 669

§ 399. Ряд Тейлора............................................................................................................. 671

§ 400. Разложение функции в степенной ряд........................................................... 673

§401. Разложение элементарных функций в степенные ряды . . . 675

§ 402. Применение рядов к вычислению интегралов............................................ 680

§ 403. Гиперболические функции................................................................................. 683

§ 404. Обратные гиперболические функции............................................................ 686

§ 405. Происхождение наименований гиперболических

функций .................................................................................................................  688

§ 406. О комплексных числах......................................................................................... 689

§ 407. Комплексная функция действительного аргумента.................................. 691

§ 408. Производная комплексной функции.............................................................. 692

§ 409. Возведение положительного числа в комплексную

степень  ...................................................................................................................  694

§410. Формула Эйлера..................................................................................................... 696

§ 411. Тригонометрический ряд.................................................................................... 697

§ 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах.............................. 697

§413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx...................................... 698

§ 414. Формулы Эйлера—Фурье.................................................................................. 700

§ 415. Ряд Фурье................................................................................................................. 703

§ 416. Ряд Фурье для непрерывной функции........................................................... 704

§417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции.................................................. 708

§ 418. Ряд Фурье для разрывной функции................................................................ 712

Дифференцирование и интегрирование функций нескольких аргументов

§ 419. Функция двух аргументов.................................................................................. 716

§ 420. Функция трех и большего числа аргументов.............................................. 718

§421. Способы задания функций нескольких аргументов.................................. 718

§422. Предел функции нескольких аргументов...................................................... 722

§ 423. О порядке малости функции нескольких аргументов.............................. 723

§424. Непрерывность функции нескольких аргументов...................................... 725

§ 425. Частные производные......................................................................................... 726

§ 426. Геометрический смысл частных производных

для случая двух аргументов............................................................................ 727

§ 427. Полное и частное приращения........................................................................ 728

§ 428. Частный дифференциал..................................................................................... 729

§ 429. О выражении частной производной через дифференциал . . 730

§ 430. Полный дифференциал...................................................................................... 731

§431. Геометрический смысл полного дифференциала

(случай двух аргументов)................................................................................ 733

§432. Инвариантность выражения f'_x dx + f'_y dy + f'₂dz

полного дифференциала................................................................................. 734

§ 433. Техника дифференцирования........................................................................... 735

§ 434. Дифференцируемые функции.......................................................................... 736

§ 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности..................................... 737

§ 436. Уравнение касательной плоскости................................................................. 739

§ 437. Уравнения нормали............................................................................................. 740

§ 438. Дифференцирование сложной функции...................................................... 741

§ 439. Замена прямоугольных координат полярными........................................ 742

§ 440. Формулы для производных сложной функции........................................ 743

§441. Полная производная............................................................................................ 744

§ 442. Дифференцирование неявной функции нескольких

переменных........................................................................................................... 745

§ 443. Частные производные высших порядков...................................................... 748

§ 444. Полные дифференциалы высших порядков................................................ 750

§ 445. Техника повторного дифференцирования................................................... 753

§ 446. Условное обозначение дифференциалов..................................................... 753

§ 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов. . . 754

§ 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких

аргументов............................................................................................................ 757

§ 449. Правило нахождения экстремума................................................................... 758

§ 450. Достаточные условия экстремума (случай двух

аргументов)........................................................................................................... 760

§ 451. Двойной интеграл................................................................................................. 761

§ 452. Геометрический смысл двойного интеграла.............................................. 763

§ 453. Свойства двойного интеграла.......................................................................... 763

§454. Оценка двойного интеграла............................................................................... 764

§455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай). . . . 764

§456. Вычисление двойного интеграла (общий случай).................................... 768

§ 457. Функция точки....................................................................................................... 772

§ 458. Выражение двойного интеграла через полярные

координаты............................................................................................................ 773

§ 459. Площадь куска поверхности.............................................................................. 776

§ 460. Тройной интеграл................................................................................................. 779

§ 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай).... 780

§ 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай).................................... 781

§ 463. Цилиндрические координаты........................................................................... 783

§ 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические

координаты............................................................................................................ 783

§ 465. Сферические координаты................................................................................... 784

§ 466. Выражение тройного интеграла через сферические

координаты............................................................................................................ 785

§ 467. Схема применения двойного и тройного интегралов.............................. 787

§ 468. Момент инерции.................................................................................................... 788

§ 469. Выражение некоторых физических и геометрических

величин через двойные интегралы............................................................... 790

§ 470. Выражение некоторых физических и геометрических

величин через тройные интегралы............................................................... 792

§471. Криволинейный интеграл.................................................................................... 794

§ 472. Механический смысл криволинейного интеграла..................................... 796

§ 473. Вычисление криволинейного интеграла....................................................... 797

§ 474. Формула Грина....................................................................................................... 799

§ 475. Условие, при котором криволинейный интеграл

не зависит от пути............................................................................................... 799

§ 476. Другая форма условия предыдущего параграфа....................................... 802

Дифференциальные уравнения

§ 477. Основные понятия................................................................................................. 805

§ 478. Уравнение первого порядка............................................................................... 807

§ 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка................................. 808

§ 480. Изоклины.................................................................................................................. 811

§ 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка .... 812

§ 482. Уравнения с разделенными переменными.................................................... 814

§ 483. Разделение переменных. Особое решение................................................... 815

§ 484. Уравнение в полных дифференциалах............................................................ 817

§ 484а. Интегрирующий множитель........................................................................... 818

§ 485. Однородное уравнение....................................................................................... 819

§ 486. Линейное уравнение первого порядка........................................................... 822

§ 487. Уравнение Клеро.................................................................................................... 824

§ 488. Огибающая............................................................................................................... 826

§ 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений.............................. 828

§ 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка

по методу Эйлера................................................................................................ 829

§491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью

рядов........................................................................................................................ 831

§ 492. О составлении дифференциальных уравнений........................................... 833

§ 493. Уравнение второго порядка............................................................................... 837

§ 494. Уравнение тг-го порядка..................................................................................... 840