Экзаменационные билеты по геометрии 11 класс.

Каждый экзаменационный комплект по предмету содержит не менее 25 билетов, каждый билет включает три вопроса (за исключением комплекта по естествознанию, где предложено по два вопроса в билете). К экзаменационным билетам по всем предметам разработаны краткие пояснительные записки об особенностях проведения устного экзамена по предмету. В них объяснена принципиальная разница между комплектами, составленными с учетом базового уровня изучения предмета и комплектами, составленными с учетом профильного уровня изучения предмета, дана характеристика структуры экзаменационного билета в целом, прокомментированы различия первого, второго и третьего вопросов билета. Во всех пояснительных записках указано примерное время, отводимое на подготовку выпускника к ответу, описаны подходы к оцениванию ответа выпускника, носящие рекомендательный характер, даны разъяснения по использованию предложенного экзаменационного материала при разработке экзаменационных билетов на уровне общеобразовательного учреждения.

Билеты всех предложенных комплектов носят примерный характер: общеобразовательное учреждение имеет право в экзаменационный материал внести изменения, учитывающие региональный компонент, особенности программы, по которой строилось обучение; частично заменить вопросы, дополнить другими заданиями, а также разработать собственные экзаменационные материалы для проведения экзаменов по выбору в устной форме.

Порядок экспертизы, утверждения и хранения аттестационного материала для проведения экзаменов по выбору устанавливается уполномоченным органом местного самоуправления.

Руководитель В. БОЛОТОВ

Вестник образования № 5–6      26.Март, 2006

ГЕОМЕТРИЯ – XI класс

Экзамен по геометрии – экзамен по выбору, форма проведения которого может быть различной: ответ по билету, защита реферата, собеседование, тестовая проверка.

Предлагаемые экзаменационные билеты составлены с учетом обязательных минимумов содержания основного общего и среднего (полного) общего образования (приказы Минобразования России от 19.05.1998 №1236 и от 30.06.1999 № 56), а также государственных стандартов основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089). Экзаменационный материал разработан с учетом двухуровневого образовательного стандарта среднего (полного) общего образования, позволяющего реализовать задачи профильного обучения. В первый комплект билетов включены материалы для учащихся, изучавших геометрию на базовом уровне, во второй – на профильном.

В комментариях к билетам даны общие рекомендации по оцениванию ответов учащихся. Представленные материалы могут быть использованы при итоговой аттестации по геометрии независимо от учебника, по которому фактически велось изучение предмета.

В каждый комплект входит 25 билетов, содержащих теоретические вопросы и задачи.

Особенности устного экзамена по геометрии для выпускников, изучавших предмет на базовом уровне.

Каждый экзаменационный билет для выпускников, изучавших предмет на базовом уровне, включает три вопроса из разных разделов курса.

Первый вопрос носит теоретический характер. При ответе на него учащийся должен воспроизвести указанные определения, теоремы и описать свойства геометрических тел. Доказывать теоретические факты не требуется, свое понимание предмета ученик демонстрирует приведением примеров и стереометрических иллюстраций.

Второй и третий вопросы – задачи, включенные в билет с целью проверки овладения учащимися умениями применять изученные факты на практике.

Первая задача требует, как правило, прямого применения какого-либо одного элемента содержания.

Вторая задача требует использования в ходе решения нескольких известных фактов. При этом задание считается выполненным верно, если при правильном ходе решения ученик явно описал, но, возможно, не обосновал свойства геометрических фигур, играющих ключевую роль в решении задачи.

Примерное время, отводимое на подготовку выпускника к ответу, – 15–20 минут.

Отметка «5» ставится, если ученик ответил на теоретический вопрос и решил обе задачи билета.

Отметка «4» ставится, если ученик ответил на первый вопрос, решил одну задачу, выполнил еще один из шагов решения второй задачи.

Отметка «3» ставится, если ученик ответил на первый вопрос и решил одну задачу.

Особенности устного экзамена по геометрии для выпускников, изучавших предмет на профильном уровне.

Каждый экзаменационный билет для выпускников, изучавших предмет на профильном уровне, включает четыре вопроса по разным разделам курса стереометрии.

При ответе на первый вопрос ученик должен показать уверенное владение основными понятиями стереометрии, умение формулировать определения и теоремы, объяснять простейшие свойства пространственных фигур. Приводимые при ответе определения, теоремы должны быть, как правило, пояснены на примерах, или на моделях, или на изображениях фигур. Доказывать теоремы, приводимые при ответе на первый вопрос билета, необязательно.

При ответе на второй вопрос учащийся должен привести необходимые определения и доказать предложенные в вопросе теоремы.

Третий и четвертый вопросы билета – задачи.

Для решения первой задачи требуется применить несколько простейших геометрических фактов. При этом задание считается выполненным верно, если ученик явно описал, но, возможно, не обосновал свойства геометрических фигур.

Вторая задача более высокого уровня сложности. Полным считается такое решение, в котором даны необходимые обоснования ключевых моментов решения. Например, при искомом угле между плоскостями обязательного обоснования требует построение того линейного угла . между ними, который удовлетворяет неравенству 0 < j < 90°.

В приложении к комплекту экзаменационных билетов профильного уровня содержится дополнительный набор простых задач, решение которых должно быть отработано в ходе изучения предмета.

Примерное время, отводимое на подготовку выпускника к ответу – 40 минут.

Отметка «5» ставится, если ученик ответил на два теоретических вопроса и решил вторую задачу или обе задачи билета, проявил понимание материала, который он использовал при ответе на вопросы билета.

Отметка «4» ставится, если ученик ответил на теоретические вопросы и решил первую задачу или ответил только на один теоретический вопрос, но решил обе задачи.

Отметка «3» ставится, если ученик ответил на первый теоретический вопрос и решил одну задачу. Если ученик не может решить ни одну из предложенных в билете задач, учитель имеет право дать ему задачу из дополнительного набора. В случае ее решения также ставится отметка «3».

Ученик, не решивший ни одной из задач билета и предложенных задач из дополнительного набора, не может быть аттестован по геометрии.

Экзаменационные билеты носят примерный характер и могут быть использованы при разработке экзаменационных материалов в соответствии с особенностями образовательной программы конкретной школы. В предложенный материал можно внести изменения исходя из особенностей выбранной учителем программы по предмету: частично заменить вопросы, дополнить другими заданиями, а также разработать свои варианты.

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

Билет № 1

1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельные прямые (определение).

2. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а сторона основания равна 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Площадь сечения шара плоскостью равна 20pм², а расстояние от центра шара до секущей плоскости равно 4 м. Найдите объем шара.

Билет № 2

1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые (определение).

2. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник, катет которого равен 40 м, а гипотенуза равна 41 м. Высота пирамиды равна 20 м. Найдите объем пирамиды.

3. На окружностях оснований цилиндра отмечены точки А и В так, что АВ = 10 м, а угол между прямой АВ и плоскостью основания цилиндра равен 30°. Расстояние от точки А до центра основания, содержащего точку В, равно 13 м. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Билет № 3

1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми в пространстве.

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с высотой угол в 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной, равной 2pм. Найдите объем цилиндра.

Билет № 4

1. Параллельность прямой и плоскости (признаки и свойства).

2. Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем такой пирамиды.

3. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°, а расстояние от центра основания до образующей равно √3 м. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Билет № 5

1. Перпендикулярность прямой и плоскости (признаки и свойства).

2. Площадь полной поверхности куба равна 24 см². Найдите его объем.

3. На сфере расположены точки А, В и С так, что АВ = 6 м, ВС = 8 м, АС = 10 м. Расстояние от центра сферы до плоскости АВС равно 12 м. Найдите площадь сферы.

Билет № 6

1. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью.

2. Прямоугольник, стороны которого равны 2 см и 5 см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объем тела вращения.

3. Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 13 см, а диагональ основания равна 10√2 см. Найдите высоту пирамиды.

Билет № 7

1. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.

2. Радиус основания цилиндра равен 6 м, а расстояние от центра одного основания до точки окружности второго основания равно 10 м. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5√2 м, боковое ребро равно 13 м. Найдите объем пирамиды.

Билет № 8

1. Параллельность плоскостей (признаки и свойства).

2. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 2 см и 3 см, а диагональ равна 7 см. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

3. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого равно 6 м.

Билет № 9

1. Перпендикулярность плоскостей (признаки и свойства).

2. Прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 м, а гипотенуза равна 5 м, вращается вокруг большего катета. Найдите объем тела вращения.

3. Боковое ребро правильной четырехугольной призмы АВСDA₁B₁C₁D₁ равно 6√3 м, а сторона основания равна 6 м. Найдите угол между прямыми АВ₁ и CD₁.

Билет № 10

1. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью. Расстояние между параллельными плоскостями.

2. Высота конуса равна 8 см, а радиус основания равен 6 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3. Стороны АВ и AD основания прямоугольного параллелепипеда АВСDA₁B₁C₁D₁ равны 6 м и 8 м, угол между диагональю АС₁ параллелепипеда и плоскостью основания равен 45°. Найдите синус угла между прямой АС₁ и плоскостью АВВ₁.

Билет № 11

1. Призма, ее основания, боковые ребра, высота. Прямая и правильная призмы.

2. Диагональ куба равна 2√3 м. Найдите площадь его полной поверхности.

3. На расстоянии 9 см от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24p см. Найдите объем шара.

Билет № 12

1. Площади боковой и полной поверхностей призмы.

2. Образующая конуса равна 13 м, а радиус основания равен 5 м. Найдите объем конуса.

3. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 27 дм², а периметр основания равен 18 дм. Найдите высоту пирамиды.

Билет № 13

1. Параллелепипед. Куб (определения, свойства ребер, граней).

2. Высота конуса равна 6 м, а диаметр основания равен 12 м. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

3. Концы бокового ребра правильной треугольной призмы удалены от противолежащей этому ребру стороны основания на 2√3 м и 4√3 м. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Билет № 14

1. Симметрии в кубе.

2. Образующая конуса равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем конуса.

3. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет № 15

1. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота. Правильная пирамида.

2. Секущая плоскость проведена на расстоянии 6 см от центра шара. Радиус сечения равен 8 см. Найдите объем шара.

3. Четыре ребра прямоугольного параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ равны 6√3 м каждое, а остальные ребра равны 3√2 м каждое. Найдите угол между прямыми А₁С и В₁D.

Билет № 16

1. Правильные многогранники (тетраэдр, куб, октаэдр).

2. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 4 см, а диагональ основания равна 6√2 см.

3. Площадь сечения шара плоскостью равна 16p м², а площадь параллельного ему сечения, проходящего через центр шара, равна 25p м². Найдите расстояние между плоскостями сечений.

Билет № 17

1. Цилиндр, его основания, образующая, боковая поверхность, высота.

2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды МАВСD с вершиной М равно стороне ее основания. Найдите угол между прямыми АВ и СМ.

3. Основание прямой призмы – ромб с высотой 2 дм. Площадь боковой поверхности призмы равна 96 дм², а площадь полной поверхности равна 128 дм². Найдите высоту призмы.

Билет № 18

1. Конус, его основание, образующая, боковая поверхность, высота.

2. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 3 м, 4 м и 12 м. Найдите сумму длин всех диагоналей параллелепипеда.

3. В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD площадь основания АВСD равна 32 см², а площадь треугольника МАС равна 16 см². Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

Билет № 19

1. Шар и сфера, их сечения.

2. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3 м, а боковое ребро равно 6 м. Найдите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания.

3. Хорда основания цилиндра равна 32 см и удалена от центров его оснований на 12 см и 13 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Билет № 20

1. Формулы объема призмы, прямоугольного параллелепипеда, куба.

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с высотой угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Площадь боковой поверхности конуса равна 60p м², а радиус основания равен 6 м. Найдите расстояние от центра основания до образующей конуса.

Билет № 21

1. Формулы площади поверхности и объема пирамиды.

2. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 м и 12 м, боковое ребро призмы равно 10 м. Найдите площадь полной поверхности призмы.

3. Расстояние от центра основания конуса до середины образующей равно 4 см, а угол наклона образующей конуса к плоскости основания равен 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Билет № 22

1. Формулы площади поверхности и объема цилиндра.

2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3. Угол между диагональю АС₁ прямоугольного параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ и плоскостью основания АВСD равен 30°, а диагональ боковой грани DС₁ наклонена к плоскости основания под углом 45°. Высота параллелепипеда равна 3 см. Найдите его объем.

Билет № 23

1. Формулы площади поверхности и объема конуса.

2. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 м и 8 м, боковое ребро равно 10 м. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

3. Найдите периметр треугольника АВС, если А(–1; 1; –2), В(20; 1; –2), С(5; 1; 6).

Билет № 24

1. Формулы объема шара и площади сферы.

2. Основание прямой призмы АВСА₁В₁С₁ – треугольник АВС, в котором угол C = 90°, АС = 3 см, ВС = 4 см. Найдите расстояние от прямой СС₁ до плоскости грани АВВ₁А₁.

3. Радиус основания конуса равен 5 м, а тангенс угла наклона образующей к плоскости основания равен 2,4. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Билет № 25

1. Прямоугольная система координат в пространстве. Формула для нахождения расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

2. Площадь сферы равна 100p м². Расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 4 м. Найдите радиус сечения.

3. Основание пирамиды – ромб, диагонали которого равны 30 см и 40 см. Высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, образуют с высотой пирамиды углы, равные 30°. Найдите объем пирамиды.

ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Билет № 1

1. Аксиомы стереометрии. Способы задания плоскости. Примеры плоскостей, заданных прямой и точкой, не лежащей на этой прямой; двумя различными прямыми, имеющими общую точку.

2. Прямая призма. Площадь боковой поверхности призмы. Теорема о вычислении площади боковой поверхности прямой призмы (с доказательством). Площадь полной поверхности прямой призмы.

3. Дана правильная треугольная пирамида АВСD. Вершина А удалена от прямой ВС на расстояние √3 , а от плоскости основания BCD на расстояние √2 . Найдите объем пирамиды АВСD.

4. Дана сфера с центром в точке О и радиусом R. Точки А и В принадлежат сфере и линии пересечения двух взаимно перпендикулярных сечений этой сферы. Плоскости этих сечений отстоят от центра сферы на расстояния а и b, a > 0, b > 0. Найдите площадь треугольника АОВ.

Билет № 2

1. Аксиомы стереометрии. Способы задания плоскости. Примеры плоскостей, заданных тремя точками, не лежащими на одной прямой; двумя различными параллельными прямыми.

2. Правильная призма. Теорема о вычислении площади боковой поверхности правильной призмы (с доказательством). Площадь полной поверхности правильной призмы. Объясните, как вычислить площадь боковой поверхности наклонной призмы.

3. В треугольной пирамиде MABC треугольник АВС является ортогональной проекцией треугольника МВС. Найдите угол между прямыми ВС и АМ.

4. Через образующую АВ цилиндра проведены осевое сечение ABCD и сечение ABFH, образующее с плоскостью АВС угол в 30°. Радиус цилиндра равен 5. Найдите расстояние между прямыми AF и CD.

Билет № 3

1. Параллельные прямые в пространстве. Признак параллельности прямых в пространстве. Примеры параллельных прямых, содержащих порознь ребра треугольной призмы.

2. Параллелепипед. Теорема о свойстве противоположных граней параллелепипеда (с доказательством).

3. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной в точке М высота вдвое меньше ее бокового ребра. Найдите косинус угла между прямыми МВ и CD.

4. Через точку А сферы с центром в точке О проведены две касательные, образующие угол в 30°. На этих касательных отмечены точки M и N так, что MN _┴ AN. Найдите градусную меру угла между плоскостями ANO и MNO.

Билет № 4

1. Параллельность прямой и плоскости. Примеры прямых, параллельных плоскости диагонального сечения четырехугольной призмы.

2. Параллелепипед. Диагональ параллелепипеда. Теорема, выражающая свойства диагоналей параллелепипеда (с доказательством).

3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в 30°. Найдите тангенс угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания.

4. В конусе можно провести три взаимно перпендикулярные образующие. Найдите косинус угла в осевом сечении такого конуса.

Билет № 5

1. Параллельность плоскостей. Примеры параллельных плоскостей, содержащих грани наклонной призмы. Признак и свойство параллельных плоскостей (формулировки).

2. Прямоугольный параллелепипед. Теорема о вычислении длины диагонали прямоугольного параллелепипеда (с доказательством).

3. Радиус основания цилиндра равен его высоте. Прямоугольник АВML – осевое сечение цилиндра. Точки M, L, С лежат на одной окружности основания этого цилиндра, причем величина дуги МС равна 60°. Найдите угол между прямой АС и осью цилиндра.

4. Точки Р и Т – середины ребер МС и MD четырехугольной пирамиды MABCD, в основании которой лежит параллелограмм ABCD. Объем пирамиды MABCD равен 80. Найдите объем пирамиды MABPT.

Билет № 6

1. Перпендикулярные прямые в пространстве. Примеры двух перпендикулярных прямых в пространстве, содержащих ребра правильной треугольной пирамиды. Вычисление расстояния между двумя скрещивающимися перпендикулярными прямыми. Пример вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми, содержащими боковое ребро правильной

треугольной призмы и ребро ее основания.

2. Пирамида. Правильная пирамида. Площадь боковой поверхности пирамиды. Теорема о вычислении площади боковой поверхности правильной пирамиды (с доказательством). Площадь полной поверхности правильной пирамиды.

3. Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Найдите угол между прямыми АВ₁ и ВС₁.

4. В конусе, радиус основания которого равен r, а высота – h, причем r > h, проводятся всевозможные сечения, содержащие вершину конуса. Определите косинус угла, который образует сечение наибольшей площади с плоскостью основания конуса.

Билет № 7

1. Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве. Признак перпендикулярности прямой и плоскости (формулировка).

2. Усеченная пирамида. Правильная усеченная пирамида. Теорема о вычислении площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды (с доказательством). Площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

3. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ грань АА₁В₁В и сечение AB₁C₁D – квадраты. Диагональ параллелепипеда равна 2. Найдите объем параллелепипеда.

4. АВ и CD – перпендикулярные диаметры одного основания цилиндра с центром в точке О. Отношение радиуса основания цилиндра к его высоте равно √2 . Прямоугольник CDD₁C₁ – осевое сечение цилиндра. Найдите косинус угла между прямыми AD и OD₁.

Билет № 8

1. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до плоскости. Примеры перпендикуляра к плоскости основания призмы; пирамиды. Высоты призмы и пирамиды.

2. Цилиндр. Боковая и полная поверхности цилиндра. Теорема о вычислении площади боковой и полной поверхностей цилиндра (с доказательством).

3. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ сечение BDD₁B₁ – квадрат и образует с сечением ACC₁A₁ угол 60°. Диагональ параллелепипеда равна 2√2 . Найдите объем параллелепипеда.

4. Осевым сечением конуса с вершиной в точке А является правильный треугольник АВС. Синус угла между образующими AD и АС равен         .  Найдите отношение объема конуса к объему пирамиды ABCD.

Билет № 9

1. Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве. Свойство прямых, перпендикулярных одной плоскости (формулировка).

2. Конус. Боковая и полная поверхность конуса. Теорема о вычислении площади боковой и полной поверхностей конуса (с доказательством).

3. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ грань BB₁C₁C – квадрат, D₁C₁= 2BC, а диагональ параллелепипеда равна 4√6. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

4. Центр полушара радиуса R является вершиной конуса, радиус основания которого равен радиусу полушара. Плоскость основания конуса касается поверхности полушара и параллельна плоскости основания полушара. Найдите площадь поверхности тела, являющегося общей частью конуса и полушара.

Билет № 10

1. Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве. Свойство плоскости, перпендикулярной одной из двух параллельных прямых (формулировка).

2. Шар и сфера. Диаметральная плоскость, большой круг шара. Теорема о сечении шара плоскостью (с доказательством).

3. В основании треугольной пирамиды ABCD лежит прямоугольный треугольник BCD, угол BCD = 90°. Каждая из плоскостей АВС и ABD перпендикулярна плоскости BCD. Найдите косинус угла между плоскостями АВС и ACD.

4. В конусе с вершиной М проведены три образующие МА, МВ и МС, причем АВ – диаметр основания конуса, а отношение длины меньшей дуги АС к меньшей дуге СВ равно 2. Высота конуса равна радиусу его основания. Найдите синус угла между медианой СL треугольника ВСМ и плоскостью АСМ.

Билет № 11

1. Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве. Теорема о трех перпендикулярах (формулировка и пояснение рисунком).

2. Шар и сфера. Касательная плоскость к шару (сфере). Теорема о касательной плоскости к (сфере) шару (с доказательством).

3. Векторы               коллинеарны ребрам треугольной пирамиды, выходящим из вершины А, а их модули равны длинам соответствующих ребер. Найдите разложение вектора       идущего из вершины А в точку пересечения медиан противоположной грани этой пирамиды.

4. Через середины ребер АВ и АС прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ и точку В₁ проведено сечение призмы, которое разделило призму на два многогранника. Найдите больший из объемов этих многогранников, если объем призмы равен 12.

Билет № 12

1. Параллелепипед. Виды параллелепипеда. Соотношение между числом ребер, числом вершин и числом граней параллелепипеда. Формулы для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда и объема наклонного параллелепипеда.

2. Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости (с доказательством).

3. Найдите координаты коллинеарных векторов  

4. Ребро правильного тетраэдра равно 1. Первый шар вписан в этот тетраэдр. Второй шар касается вписанного шара и трех граней тетраэдра. Найдите объем второго шара.

Билет № 13

1. Призма. Виды призм. Соотношение между числом ребер, числом вершин и числом граней призмы. Формулы для вычисления объема прямой призмы и объема наклонной призмы.

2. Параллельность плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей (с доказательством).

3. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4√3 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4. Каждый из четырех равных шаров радиуса 6 касается двух других шаров и касается некоторой плоскости. Найдите радиус пятого шара, который касается той же плоскости и каждого из данных четырех шаров.

Билет № 14

1. Пирамида. Виды пирамид. Соотношение между числом ребер, числом вершин и числом граней пирамиды. Формула для вычисления объема пирамиды.

2. Параллельность плоскостей. Свойства параллельных плоскостей (с доказательством любого свойства на выбор учащегося).

3. Найдите угол развертки конуса, осевое сечение которого правильный треугольник.

Билет № 15

1. Выпуклый многогранник. Соотношение между числом ребер, числом вершин и числом граней выпуклого многогранника. Правильный многогранник. Виды правильных многогранников. Примеры правильных многогранников с треугольными гранями.

2. Параллельность плоскостей. Свойство отрезков параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями (с доказательством).

3. Найдите модуль вектора    

4. В основании четырехугольной пирамиды FАВСD лежит параллелограмм ABCD. Объем пирамиды равен 300. Через прямую ВD проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной медиане FL грани AFD. Сечение разделило пирамиду на две части. Найдите объем меньшей из этих частей.

Билет № 16

1. Цилиндр и его элементы. Объем цилиндра. Формула для вычисления объема цилиндра.

2. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости (с доказательством).

3. Основания наклонной призмы АВСА₁В₁С₁ – правильные треугольники ABC и A₁B₁C₁. Боковое ребро призмы вдвое больше ребра ее основания, а основанием высоты призмы, опущенной из вершины А₁ на плоскость АВС, является точка В. Найдите косинус угла между скрещивающимися прямыми АВ и СС₁.

4. Найдите отношение ребра правильного тетраэдра к радиусу шара, вписанного в этот тетраэдр.

Билет № 17

1. Конус и его элементы. Объем конуса. Формула для вычисления объема конуса.

2. Перпендикулярность прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах (с доказательством).

3. Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁. Вершина А₁ удалена от прямой ВС на расстояние 5 и от плоскости ВСС₁ на расстояние 3. Найдите площадь полной поверхности призмы.

4. Найдите отношение ребра правильного тетраэдра к радиусу шара, описанного около этого тетраэдра.

Билет № 18

1. Формулы для вычисления площади поверхности и объема шара.

2. Перпендикулярность плоскостей. Признак перпендикулярности двух плоскостей (с доказательством).

3. Все ребра наклонной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равны между собой. Основание высоты призмы, опущенной из вершины А₁ на плоскость АВС, является центром треугольника АВС. Найдите косинус угла между прямыми ВС и АА₁.

4. Дан правильный тетраэдр АВСD с ребром, равным √6 . Точки М и L – середины ребер ВС и СD соответственно. Найдите расстояние между прямыми АD и МL.

Билет № 19

1. Параллельное проектирование. Свойства параллельного проектирования. Примеры параллельных проекций треугольника и его медиан на данную плоскость.

2. Свойства сложения векторов в пространстве. Переместительный закон сложения векторов в пространстве (с доказательством).

3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды вдвое больше высоты пирамиды. Найдите объем этой пирамиды, если сторона основания равна 6.

4. Дана треугольная призма АВСА₁В₁С₁, у которой основания АВС, А₁В₁С₁ и сечение А₁ВС – равные правильные треугольники, а основание высоты призмы, опущенной из вершины А₁ на плоскость АВС, совпадает с центром треугольника АВС. Найдите объем призмы, если площадь грани ВСС₁В₁ равна 1.

Билет № 20

1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Примеры двугранных углов и их линейных углов в правильной пирамиде.

2. Координаты точки в пространстве. Вывод формулы для нахождения расстояния между точками в пространстве по заданным координатам этих точек.

3. Определите косинус угла между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра.

4. Все ребра правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равны 5. Найдите множество всех точек плоскости АВС, равноудаленных от плоскостей АВВ₁, ВСВ₁ и от прямой АС. Пусть М₀ – точка этого множества, наиболее удаленная от точки В₁. Найдите расстояние от точки М₀ до вершины В₁.

 Билет № 21

1. Вектор в пространстве. Задание вектора. Равенство векторов. Определение суммы двух векторов в пространстве. Иллюстрации указанных понятий на модели прямоугольного параллелепипеда.

2. Усеченный конус. Теорема о вычислении площади боковой поверхности усеченного конуса (с доказательством).

3. Определите косинус угла между гранями правильного тетраэдра.

4. Точка М, равноудаленная от вершин А₁, В₁, С правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, лежит в плоскости АВС. Высота призмы равна ребру ее основания и равна 3√3. Найдите объем пирамиды МА₁В₁С.

Билет № 22

1. Вектор в пространстве. Модуль вектора. Равенство векторов. Определение разности двух векторов в пространстве. Иллюстрации указанных понятий на модели правильного тетраэдра.

2. Усеченный конус. Теорема о вычислении объема усеченного конуса (с доказательством).

3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁, АВ = 1, AD = 2, AA₁ = 3. Точка М лежит на диагонали параллелепипеда и не совпадает ни с одной вершиной параллелепипеда. Докажите, что сумма расстояний от точки М до всех граней параллелепипеда не зависит от ее расположения на диагонали. Найдите эту сумму.

4. Точки А и В лежат в различных гранях двугранного угла, равного 60°, на расстояниях а и b от ребра t двугранного угла соответственно (а < b). Расстояние между ортогональными проекциями этих точек на ребро t равно d. Найдите АВ.

Билет № 23

1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Пример нахождения величины угла между скрещивающимися прямыми на модели правильной треугольной призмы.

2. Уравнение сферы (с выводом).

3. Площадь осевого сечения конуса равна 2, а площадь его боковой поверхности равна 2p√5. Найдите объем конуса.

4. В правильной треугольной пирамиде АВСD сторона основания равна √13, а высота пирамиды в два раза больше стороны ее основания BCD. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Билет № 24

1. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Пример нахождения величины угла между прямой и плоскостью на модели правильной четырехугольной призмы.

2. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам (с доказательством). Определение координат вектора в декартовой прямоугольной системе координат.

3. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны между собой. Найдите косинус угла между апофемами смежных боковых граней пирамиды.

4. На высоте конуса отмечены две точки, делящие высоту конуса в отношении 1:2:3, считая от его вершины. Плоскости, проходящие через эти точки параллельно основанию конуса, разделили его на три части, причем объем средней части равен V. Найдите объем конуса.

Билет № 25

1. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями. Пример нахождения величины угла между двумя плоскостями на модели куба.

2. Теорема о вычислении скалярного произведения векторов (с доказательством).

3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 60°. Площадь круга, описанного около основания этой пирамиды, равна 12.. Найдите объем пирамиды.

4. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ грань АВСD – квадрат со стороной 1. Боковое ребро АА₁ вдвое больше ребра АВ. Через диагональ В₁D и каждую точку ребра АА₁ проводятся всевозможные сечения этого параллелепипеда. Определите наименьшую площадь такого сечения.

Приложение

1. Площадь сечения шара равна 20pм², а расстояние от секущей плоскости до центра шара равно 4 м. Найдите объем шара.

2. На сфере расположены точки А, В и С так, что АВ = 6 м, ВС = 8 м, АС = 10 м. Расстояние от центра сферы до плоскости АВС равно 12 м. Найдите площадь сферы.

3. Шар на расстоянии 6 см от центра пересечен плоскостью. Радиус сечения равен 8 см. Найдите объем шара.

4. На окружностях оснований цилиндра отмечены точки А и В так, что АВ = 10 м, а угол между прямой АВ и плоскостью основания цилиндра равен 30°. Расстояние от точки А до центра основания, содержащего точку В, равно 13 м. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

5. Радиус основания цилиндра равен 6 м, а расстояние от центра одного основания до точки окружности второго основания равно 10 м. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

6. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной, равной 2p м. Найдите объем цилиндра.

7. Высота конуса равна 6 м, а диаметр основания равен 12 м. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

8. Площадь боковой поверхности конуса равна 60p м², а радиус основания равен 6 м. Найдите расстояние от центра основания до образующей конуса.

9. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°, а расстояние от центра основания до образующей равно √3 м. Найдите площадь полной поверхности конуса.

10. Диагональ куба равна 2√3м. Найдите площадь его полной поверхности.

11. Площадь полной поверхности куба равна 24 см². Найдите его объем.

12. Ребро куба АВСDА₁В₁С₁D₁ равно 2√2 м. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра АСВ₁D₁.

13. Боковое ребро правильной четырехугольной призмы АВСDА₁В₁С₁D₁ равно 6√3 м, а сторона основания равна 6 м. Найдите угол между диагоналями АВ₁ и CD₁ противолежащих боковых граней.

14. Стороны AB и AD – основания прямоугольного параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ равны 6 м и 8 м, угол между диагональю АС₁ параллелепипеда и плоскостью основания равен 45°. Найдите угол между плоскостью АВВ₁ и прямой АС₁.

15. Четыре ребра прямоугольного параллелепипеда равны 6√3 м каждое, а остальные ребра равны 3√2 м каждое. Найдите угол между двумя диагоналями этого параллелепипеда.

16.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5√2 м, боковое ребро равно 13 м. Найдите объем пирамиды.

17. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого равно 6 м.

18. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

19. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды МАВСD с вершиной М равно стороне ее основания. Найдите угол между прямыми АВ и СМ.

20. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3 м, а боковое ребро равно 6 м. Найдите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания.